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实分析

 

【书  名】实分析

【作 者】()哈尔西·罗伊登 著,叶培新 李雪华      

【出版者】机械工业出版社   

【索书号】O174.1/6021(3)

阅览室自然科学阅览室

  内容简介

本书是一部实分析方面的经典教材,主要分三部分,第壹部分为经典的实变函数论和经典的巴拿赫空间理论;第二部分为抽象空间理论,主要介绍分析中有用的拓扑空间以及近代巴拿赫空间理论;第三部分为一般的测度和积分论,即在第二部分理论基础上将经典的测度、积分论推广到一般情形。

本书是实分析课程的教材,被国外众多大学(如斯坦福大学、哈佛大学等)采用。全书分为三部分:第壹部分讨论一元实变量函数的Lebesgue测度与Lebesgue积分;第二部分讨论抽象空间——拓扑空间、度量空间、Banach空间以及Hilbert空间;第三部分讨论一般测度空间上的积分,以及拓扑、代数和动态结构下丰富的一般理论。书中不仅包含数学定理和定义,而且还提出了富有启发性的问题,以便读者更深入地理解书中内容。

 

前言/序言

H. L. Royden的《实分析》前三版已帮助了几代学习数学分析的学生。第4版保持了前一版的目标与总体结构——为现代分析人员提供他们需要知道的测度论、积分论以及泛函分析的知识。本书分为三部分:第一部分讨论一元实变量函数的Lebesgue测度与Lebesgue积分;第二部分讨论抽象空间——拓扑空间、度量空间、Banach空间以及Hilbert空间;第三部分讨论一般测度空间上的积分,以及拓扑、代数或动力结构下丰富的一般理论。第二部分和第三部分的内容原则上不依赖于第一部分。然而,第一部分在学生熟悉的背景下提出了新概念,这为第二部分和第三部分建立更为抽象的概念奠定了基础。此外,在第一部分创立的Banach空间——Lp空间,是最为重要的Banach空间类之一。建立Lp空间的完备性以及它们的对偶空间的主要理由是在这些空间上的泛函与算子的研究中能够运用泛函分析的标准工具,第二部分的目标是创建这些工具。

 4版的主要更新

●与前一版相比本版新增了50%的习题。

●证明了一些基本的结果,包括Egoroff定理和Urysohn引理。

●与若干其他概念一起正式给出了Borel-Cantelli引理、Chebychev不等式、快速Cauchy序列,以及测度与积分所共有的连续性质。

 本书的每一部分都有一些值得留意的变动:

第一部分

●给出了一致可积性的概念和Vitali收敛定理,它们是关于Lebesgue积分计算的基本定理证明的最重要部分。

●Lp(E)(1≤p≤∞)空间中快速Cauchy序列的性质的精确分析现在是这些空间的完备性证明的基础。

●详细讨论了Lp(E)(1≤p≤∞)空间中的弱序列紧性,它被用于证明连续凸泛函的最小值点的存在性。

第二部分

●度量和拓扑空间的一般结构性质分为两个简短的章,在这两章中主要定理得到了证明。

●对于Banach空间的处理,除了讨论有界线性算子的基本结果之外,还详细讨论了由Banach空间和它的对偶空间之间的对偶性诱导的弱拓扑的紧性。

●新增一章讨论Hilbert空间上的算子,其中弱序列紧性是证明关于紧对称算子的特征向量上的Hilbert-Schmidt定理以及刻画由Riesz和Schuader给出的作用在Hilbert空间的指标为零的线性Fredholm算子的基础。

第三部分

●建立了一般的测度与积分理论,包括完备性和Lp(X, μ)(1≤p≤∞)空间的对偶空间的表示,探讨了这些空间的弱序列紧性,包括刻画L1(X, μ)空间中的弱序列紧性的Dunford-Pettis定理的证明。

●对于紧Hausdorff空间X,为刻画C(X)的对偶讨论了拓扑与测度之间的关系。 通过紧性论据,这导致了关于紧群上唯一不变测度的存在性的von Neumann定理的证明,以及关于紧Hausdorff空间上的映射是遍历的概率测度的存在性的证明。

测度与积分的一般理论诞生于20世纪初。它现在是概率论、偏微分方程、泛函分析、调和分析以及动力系统等备受关注的若干数学领域不可或缺的要素。 事实上,它已成为一个统一的概念。 许多不同的题材能够一致地用该理论处理积分与泛函分析之间的关系,特别是积分与弱收敛性之间的伴随关系,在这里得到强化:这在如非线性偏微分方程的分析中是重要的(见L. C. Evans的书《Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations》[AMS, 1990])。

参考文献中列出了一些书,这些书在正文中没有被具体引用,但应作为补充材料和不同观点供查询。特别是,列出了两本关于数学分析的有趣历史的书。

课程建议:第一学期

在第1章,建立了第一部分需要的所有实直线的初等分析与拓扑的背景知识。 这个初始章可作为便利的参考内容。 核心内容包括第2-4章、6.1-6.5节、第7章以及8.1节。此外,以下内容可根据需要选择:8.2-8.4节对继续研究赋范线性空间的对偶性与紧性的学生是有意义的;而 5.3节包含经典分析的两个瑰宝——Lebesgue可积性的刻画与关于有界函数的Riemann可积性的刻画。

课程建议:第二学期

第二学期的课程应基于第三部分。初始的核心材料包括17.1节、18.1-18.4节以及19.1-19.3节。第17章的其余节可在开始或后面需要时讲解:17.3-17.5节在第20章之前讲授,17.2节在第21章之前讲授,继而可讲授第20章。这些都不依赖于第二部分,几个备选题材需要涉及第二部分的内容。

●建议1:证明Baire范畴定理及其关于连续函数序列的逐点极限的偏连续性的推论(第10章的定理7),从Riesz-Fischer定理推出Nikodym度量空间是完备的(第18章的定理23),证明Vitali-Hahn-Saks定理并接着证明Dunford-Pettis定理。

●建议2:涵盖关于测度与拓扑的第21章(略去20.5节),假设拓扑空间是可度量化的,因此20.1节可被略去。

●建议3:证明无穷维赋范线性空间的闭单位球关于由范数诱导的拓扑是非紧的Riesz定理,以此作为得到关于弱拓扑的序列紧性的动机。 接着,若Lq(X, μ)是可分的,用Helley定理得到Lp(X, μ)(1课程建议:第三学期)。

针对已经上过前两学期课程的学生,我把附带一些补充材料的第二部分用于泛函分析课程。当然这些材料需要裁剪,以与第二学期所选取的材料很好地衔接。关于Hilbert空间上的有界线性算子的第16章可在关于Banach空间上的有界线性算子的第13章之后讲授,因为关于弱序列紧性的结果从Hilbert空间的每个闭子空间的正交补的存在性可直接得到。第二部分应与第三部分的备选题材穿插讲授,以提供抽象空间理论在积分上的应用。例如,用第19章的材料可在一般的Lp(X, μ)空间考虑自反性与弱紧性。上面关于第二学期课程的建议1可用于第三学期而非第二学期,以给出Baire范畴定理的真正震撼的应用。第21章中C(X)的对偶的表示(其中X是紧Hausdorff空间),提供了Helly、Alaoglu与Krein-Milman的定理适用的另一族空间——带号Radon测度的空间。通过涵盖关于不变测度的第22章,学生将会接触到一些应用:用Alaoglu定理与Krein-Milman定理证明紧群上的Haar测度的存在性,使得映射是遍历的测度的存在性(第22章的定理14),以及用Helly定理证明不变测度的存在性(Bogoliubov-Krilov定理)。

欢迎读者通过pmf@math.umd.edu提供评论。勘误与评注的清单将放在www.math.umd.edu/-pmf/RealAnalysis上。

 

致谢

很高兴地表达我对教师、同行和学生的感谢。我诚挚感谢Diogo Arsénio,他读了完整手稿的倒数第二遍草稿,他的观察和建议改进了草稿。在马里兰大学,我针对多个分析课程写了讲义。这些讲义已融入当前版本。我的分析课程的一些研究生彻底检查了该版本的部分手稿,他们的评论与建议非常有价值,他们是:Avner Halevy,J. J. Lee, Kevin McGoff,Himanshu Tiagi。我特别感谢Brendan Berg,他创建了索引,校对了最后的手稿,友善地改进了我的tex技巧。我从与许多朋友和同事的交谈中获益良多,他们是:Diogo Arsénio,Stu Antman,Michael Boyle, Michael Brin, Craig Evans,Manos Grillakis,Richard Hevener,Brian Hunt,Jacobo Pejsachowicz,Michael Renardy,Eric Slud, Robert Warner, Jim Yorke.

对于第4版的第三次印刷,我改正了前两次印刷的错误,这些错误是许多友善的读者,特别是我在马里兰大学的研究生指出来的。 我感谢Jose Renato Ramos Barbosa教授,他为我提供了几页勘误表。特别的感谢给Richard Hevener,他严谨地找寻本书的错误,提供了许多关于表达的极好建议,并且仔细地排出了一个张贴在网站上的勘误清单。我感谢Sam Punshon-Smith,他在解决几个令人烦恼和困难的手稿制作问题上提供了很好的帮助。

我诚挚感谢出版社与评审人员:J. Thomas Beale, 杜克大学;Richard Carmichael,维克森林大学;Michael Goldberg,约翰霍普金斯大学;Paul Joyce,爱达荷大学;Dmitry Kaliuzhnyi-Verbovetskyi,德莱克斯大学; Giovanni Leoni,卡内基梅隆大学; Bruce Mericle,曼卡多州立大学; Stephen Robinson, 维克森林大学;Martin Schechter,加州大学欧文分校;James Stephen White,杰克逊维尔州立大学;Shanshuang Yang, 埃默里大学。

 

Patrick M. Fitzpatrick

马里兰大学帕克分校

2014年4月

 

更新日期:2021-01-05 点击: